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Prueba de la primera derivada

Funciones crecientes y decrecientes

v Una función que siempre es creciente o decreciente en un intervalo, se dice que es monótona en ese intervalo

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v En la figura de la izquierda se esboza la interpretación geométrica del teorema: "Prueba de la primera derivada".
En la parte izquierda de la figura se tiene un valor máximo relativo en c, y se observa que f '(x)>0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f '(x)<0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo); en la parte derecha se tiene un valor mínimo relativo en c, y se observa que f '(x)<0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f '(x)>0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo)

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P r o c e d i m i e n t o

  Para determinar los valores extremos relativos de una función se procede de la siguiente manera:
1.   Se halla la derivada de la función: f '(x)
2.   Se hallan los #s críticos de la función, esto es los valores de x para los cuales f '(x) = 0 o para los cuales f ' no existe.
3.   Se aplica el criterio de la primera derivada

Ejercicios resueltos

  En los ejercicios 1 a 14, proceda a lo siguiente: (a) obtenga los extremos relativos de f aplicando la prueba de la primera derivada; (b) determine los valores x en los que ocurren extremos relativos; (c) determine los intervalos en los que f es creciente; (d) determine los intervalos en los cuales f es decreciente; (e) trace la gráfica correspondiente.

 

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S o l u c i o n e s

x f (x) f ' (x) Conclusión
  - f  decrece
-5 0 f  tiene un mínimo relativo
  + f  crece

Enunciados

x f (x) f ' (x) Conclusión
  + f  crece
0 f  tiene un máximo relativo
  - f  decrece
-1 0 f  tiene un mínimo relativo
  + f  crece

x y
-1 -1
-1/3 5/27
0 0
1 -1
2 2

 

Enunciados

x f (x) f ' (x) Conclusión
  + f  crece
  - f  decrece
4 0 f  tiene un máximo relativo
-4 0 f  tiene un mínimo relativo

Enunciados

Enunciados

x y
-6 2
-2.5 9
-1.5 -7
0 -1
2 0
6 0.5

Enunciados

Aplicando el criterio de la primera derivada, se resumen los resultados en la siguiente tabla:
x f (x) f ' (x) Conclusión
  + f  crece
No existe No existe  
  - f  decrece
1.9 0 f  tiene un mínimo relativo
  + f  crece

Enunciados

Aplicando el criterio de la primera derivada, se resumen los resultados en la siguiente tabla:

x f (x) f ' (x) Conclusión
  + f  crece
0 0 No hay un extremo relativo
  + f  crece
1.1 0 f  tiene un máximo relativo
  - f  decrece
0 0 f  tiene un mínimo relativo
  + f  crece

Enunciados