A n á l i s i s   M a t e m á t i c o
Prólogo Notas históricas Diccionario Números reales Funciones Límites y continuidad
Cálculo diferencial Cálculo integral Teorema fundamental del cálculo Función logaritmo natural Función exponencial natural Aproximación de funciones por polinomios
Aplicaciones de la derivada Aplicaciones de la integral definida Sucesiones Series Ecuaciones diferenciales Ejercicios resueltos de libros reconocidos

F u n c i o n e s

Ø  Dominio y contradominio: El conjunto de valores que puede tomar la variable x se llama dominio de la función y el conjunto de valores que toma la variable  y se denomina contradominio. El dominio se obtiene a partir de la fórmula de la función, por otra parte, el contradominio se deduce usualmente una vez se ha dibujado la gráfica de la misma.

Ø  Los valores que toma la variable x, dentro de su dominio, es arbitrario; por lo que se conoce como variable independiente. En cambio los valores de y dependen  de los elegidos para x y de la fórmula de la función; por este motivo la y se denomina variable dependiente.

Ø  La fórmula de una función es la serie de instrucciones matemáticas que debe cumplir la variable independiente; el valor resultante es el que tiene la función para esa x en particular.

Ø  El presente es un compendio de análisis real por lo que se utilizan conjuntos de números reales. Las raíces de índice par de números negativos no están definidas en los números reales. Además,  la división por cero ni los logaritmos de números negativos tienen sentido. Condiciones como las anteriores  se deben tener presentes  para restringir el dominio de funciones dadas a conjuntos de valores posibles.

Ø  Como para toda x en el dominio de la función  f existe un solo valor correspondiente de y tal que el par ordenadoes adecuado utilizar el símbolo que muestra la relación que existe entre la variable independiente y la dependiente en la obtención de los pares ordenados de la función. Se tiene entonces la siguiente notación para la función  f :                   

Ø  Propiedad F1: “dos funciones  f  y  g son iguales si y sólo si tienen el mismo dominio y para toda x que pertenece al dominio común”.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES:

Definición formal de gráfica de una función: la gráfica de la función  f  es el conjunto de todos los puntos  del plano  para los cuales  es un par ordenado de  f.

Ø  La técnica para graficar una función depende en gran medida del tipo de la función dada.

    Es conveniente construir una tabla de valores donde estén representados algunos valores

    dados a x y los correspondientes calculados para y.

Ø  Una recta vertical intersecta a la gráfica de una función a lo sumo en un punto.

Ø  A la derecha se observa un ejemplo de la gráfica de una función.

     La gráfica de: 

 

TIPOS DE FUNCIONES:

Existen diversos tipos de funciones cuya clasificación se realiza observando la fórmula de las mismas. Las funciones elementales abarcan a las funciones algebraicas y las funciones trascendentes (que no son algebraicas): funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, funciones hiperbólicas y funciones hiperbólicas inversas. El análisis de la mayor parte de las funciones requiere la aplicación del concepto de límite y del cálculo, por ejemplo, para hallar las asíntotas horizontales y verticales se requiere de límites, para determinar los intervalos donde la función es creciente o decreciente, cóncava hacia arriba o hacia abajo se utiliza el cálculo diferencial.

Primero vamos a definir aquellas funciones en las que podamos aplicar los conocimientos adquiridos hasta este punto.

Función constante: la forma general de la función constante, con la constante , es

Ø  El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales,  el contradominio sólo consta del elemento k,

Ø  La gráfica de la función constante es una recta paralela al ejex que corta al ejey en k.

Función identidad: la función identidad presenta la forma general

Ø  Tanto el dominio como el contradominio de la función identidad es el conjunto de los números reales

Ø  La función identidad biseca los cuadrantes I y III.

Funciones algebraicas: las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a la función identidad,  f (x) = x, y a la función constante,  f (x) = k.

Ø  Las funciones algebraicas comprenden las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explícitas.