Concavidad y puntos de inflexión

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=98 BGCOLOR="#006600" TEXT="#F7F7FF" bgproperties="fixed" background="05700732dwnpjk.jpg"> <div> <FONT SIZE="6" COLOR="#FFFFFF" FACE="Times New Roman" ><B>C á l c u l o   2 1</B></FONT><FONT SIZE="6" COLOR="#FFCC66" FACE="Arial" ><B> </B></FONT><FONT SIZE="2" COLOR="#FFFFCC" FACE="Arial" >   </FONT><B>  |   </B><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="A n á l i s i s M a t e m á t i c o"><U><B>Home</B></U></A><B> |  </B><A HREF="id98.htm" TARGET="_top" TITLE=" | Contenido |"><U><B>Contenido</B></U></A><B> |  </B><A HREF="id307.htm" TARGET="_top" TITLE="Introducción al cálculo diferencial"><U><B>Cálculo diferencial</B></U></A><B> |</B></div> <div> <A HREF="id309.htm" TARGET="_top" TITLE="Introducción"><U>Introducción</U></A>   |   <A HREF="id310.htm" TARGET="_top" TITLE="Interpretación geométrica"><U>Interpretación geométrica</U></A>   |   <A HREF="id311.htm" TARGET="_top" TITLE="Diferenciabilidad y continuidad"><U>Diferenciabilidad y continuidad</U></A>   |   <A HREF="id312.htm" TARGET="_top" TITLE="Propiedades de la diferenciación de func"><U>Propiedades de la diferenciación de funciones</U></A>   |   <A HREF="id313.htm" TARGET="_top" TITLE="Derivada de una función compuesta y regl"><U>Derivada de una función compuesta y regla de la cadena</U></A>   |   <A HREF="id314.htm" TARGET="_top" TITLE="Derivación implícita"><U>Derivación implícita</U></A>   |   <A HREF="id315.htm" TARGET="_top" TITLE="Derivadas de orden superior"><U>Derivadas de orden superior</U></A>   |   <A HREF="id316.htm" TARGET="_top" TITLE="Intensidad de variación relativa"><U>Intensidad de variación relativa</U></A>   |   <A HREF="id317.htm" TARGET="_top" TITLE="Máximos y mínimos"><U>Máximos y mínimos</U></A>   |   <A HREF="id318.htm" TARGET="_top" TITLE="Aplicación de máximos y mínimos"><U>Aplicación de máximos y mínimos</U></A>   |   <A HREF="id319.htm" TARGET="_top" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U>Teorema de Rolle y Teorema del Valor medio</U></A>   |   <A HREF="id320.htm" TARGET="_top" TITLE="Prueba de la primera derivada"><U>Prueba de la primera derivada</U></A>   |   Concavidad y puntos de inflexión   |   <A HREF="id322.htm" TARGET="_top" TITLE="Prueba de la segunda derivada"><U>Prueba de la segunda derivada</U></A>   |   <A HREF="id323.htm" TARGET="_top" TITLE="Trazo de la gráfica de una función"><U>Trazo de la gráfica de una función</U></A>   |   <A HREF="id324.htm" TARGET="_top" TITLE="Rapideces de variación relacionadas"><U>Rapideces de variación relacionadas</U></A>   |   <A HREF="id325.htm" TARGET="_top" TITLE="Método de Newton"><U>Método de Newton</U></A>   |   <A HREF="id326.htm" TARGET="_top" TITLE="Problemas de aplicación del cálculo dife"><U>Problemas de aplicación del cálculo diferencial</U></A>   |   <A HREF="id327.htm" TARGET="_top" TITLE="Misceláneas de ejercicios de cálculo dif"><U>Misceláneas de ejercicios de cálculo diferencial</U></A></div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" rowspan="2" width=245 BGCOLOR="#006600" TEXT="#F7F7FF"> <div> <A HREF="id321_m.htm#concavidad_hacia_arriba" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Concavidad y puntos de inflexión"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700c8ffffff00.gif" HEIGHT="13" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Concavidad hacia arriba</B></U></A></div> <div> <A HREF="id321_m.htm#concavidad_hacia_abajo" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Concavidad y puntos de inflexión"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700c8ffffff00.gif" HEIGHT="13" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Concavidad hacia abajo</B></U></A></div> <div> <A HREF="id321_m.htm#teorema" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Concavidad y puntos de inflexión"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700c8ffffff00.gif" HEIGHT="13" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Prueba de la concavidad</B></U></A></div> <div> <A HREF="id321_m.htm#punto_de_inflexi_n" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Concavidad y puntos de inflexión"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700c8ffffff00.gif" HEIGHT="13" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Punto de inflexión</B></U></A></div> <div> <A HREF="id321_m.htm#teorema_1" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Concavidad y puntos de inflexión"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700c8ffffff00.gif" HEIGHT="13" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Teorema</B></U></A></div> </td> <td valign="top" height=361 colspan=2 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <U>Concavidad y puntos de inflexión</U></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="639" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 614 WIDTH="385"><div> <IMG SRC="140280cb0.gif" border=0 width="384" height="203" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="concavidad_hacia_arriba"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="14037c650.gif" border=0 width="380" height="101" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="concavidad_hacia_abajo"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="140477650.gif" border=0 width="375" height="101" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="teorema"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="14057c7b0.gif" border=0 width="380" height="123" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="243"><div> <IMG SRC="1406eaa30.gif" border=0 width="234" height="163" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" >fig.1</FONT>)</div> <bR> <div> <IMG SRC="1407f39f0.gif" border=0 width="243" height="159" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">(<FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" >fig.2</FONT>)</div> <bR> <div> <IMG SRC="1408ebb80.gif" border=0 width="235" height="184" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">(<FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" >fig.3</FONT>)</div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div>  <A NAME="punto_de_inflexi_n"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="1409783d0.gif" border=0 width="632" height="61" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="teorema_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="140a652b0.gif" border=0 width="613" height="43" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#9999FF" FACE="Times New Roman" ><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700f0ff999900.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">L</B></FONT>os posibles puntos de inflexión se identifican despejando a <I>x</I> de la ecuación que resulta una vez se ha igualado la segunda derivada de la función a cero; o para los valores de <I>x</I> para los cuales la segunda derivada no existe. </div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="612" BORDERCOLORLIGHT="#006600" BORDERCOLORDARK="#009900" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 BGCOLOR=#FFCC99 HEIGHT= 77 WIDTH="600"><div>  <A NAME="ejercicios_resueltos"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>Ejercicios resueltos</B></FONT></div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#CCFF00" FACE="Times New Roman" ><B>E</B></FONT>n los ejercicios <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >1</FONT> a <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >7</FONT>, halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función que se indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo. Trace la gráfica y muestre un segmento de cada tangente de inflexión.</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 31 WIDTH="198"><div> <A HREF="#1" TITLE="Concavidad y puntos de inflexión"><U><IMG SRC="140b75180.gif" border=0 width="117" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="198"><div> <A HREF="#2" TITLE="Concavidad y puntos de inflexión"><U><IMG SRC="140c7c180.gif" border=0 width="124" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="198"><div> <A HREF="#3" TITLE="Concavidad y puntos de inflexión"><U><IMG SRC="140d80180.gif" border=0 width="128" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div>  </div> <div> <B>S o l u c i o n e s </B></div> <bR> <div>  <A NAME="1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="140e75180.gif" border=0 width="117" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="640" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 304 WIDTH="298"><div> <IMG SRC="140f0cf00.gif" border=0 width="268" height="240" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> En la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos:</div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="14104e210.gif" border=0 width="334" height="289" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="606" BORDERCOLORLIGHT="#EEEEEE" BORDERCOLORDARK="#CC9900" FRAME="BOX" RULES="NONE" ALIGN="LEFT" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 HEIGHT= 20 WIDTH="73"><div> <I><B>x</B></I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 WIDTH="73"><div> <I><B>f</B></I><B> (</B><I><B>x</B></I><B>)</B></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 WIDTH="73"><div> <I><B>f</B></I><B> '(</B><I><B>x</B></I><B>)</B></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 WIDTH="73"><div> <I><B>f</B></I><B> ''(</B><I><B>x)</B></I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 WIDTH="294"><div> <B>Conclusión</B></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 26 WIDTH="73"><div> <I><IMG SRC="141125130.gif" border=0 width="37" height="19" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> -</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF><NOBR><div> la gráfica de <I>f</I> es cóncava hacia abajo</div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 26 WIDTH="73"><div> <IMG SRC="141227130.gif" border=0 width="39" height="19" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> 0</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> 9</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> 0</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="294"><div> <I>f </I> tiene un punto de inflexión</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 26 WIDTH="73"><div> <IMG SRC="141327130.gif" border=0 width="39" height="19" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> +</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF><NOBR><div> la gráfica de <I>f</I> es cóncava hacia arriba</div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <div>  <A NAME="2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="14147c180.gif" border=0 width="124" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="610" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 344 ><NOBR><div> <IMG SRC="14152dab0.gif" border=0 width="301" height="171" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="14162ca30.gif" border=0 width="300" height="163" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="141709370.gif" border=0 width="265" height="311" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> fig.2</div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="14185b810.gif" border=0 width="347" height="129" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="141973530.gif" border=0 width="371" height="83" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="606" BORDERCOLORLIGHT="#EEEEEE" BORDERCOLORDARK="#CC9900" FRAME="BOX" RULES="NONE" ALIGN="LEFT" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 HEIGHT= 20 WIDTH="73"><div> <I><B>x</B></I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 WIDTH="73"><div> <I><B>f</B></I><B> (</B><I><B>x</B></I><B>)</B></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 WIDTH="73"><div> <I><B>f</B></I><B> '(</B><I><B>x</B></I><B>)</B></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 WIDTH="73"><div> <I><B>f</B></I><B> ''(</B><I><B>x)</B></I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 WIDTH="294"><div> <B>Conclusión</B></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 26 WIDTH="73"><div> <I><IMG SRC="141a25130.gif" border=0 width="37" height="19" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> +</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF><NOBR><div> la gráfica de <I>f</I> es cóncava hacia arriba</div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 26 WIDTH="73"><div> <IMG SRC="141b27130.gif" border=0 width="39" height="19" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> 0</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> 0</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> 0</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="294"><div> <I>f </I> tiene un punto de inflexión</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 26 ><NOBR><div> <IMG SRC="141c3f130.gif" border=0 width="63" height="19" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> -</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF><NOBR><div> la gráfica de <I>f</I> es cóncava hacia abajo</div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 26 WIDTH="73"><div> <IMG SRC="141d27130.gif" border=0 width="39" height="19" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> -256</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> -128</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> 0</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="294"><div> <I>f </I> tiene un punto de inflexión</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 26 WIDTH="73"><div> <IMG SRC="141e27130.gif" border=0 width="39" height="19" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> +</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF><NOBR><div> la gráfica de <I>f</I> es cóncava hacia arriba</div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <div>  <A NAME="3"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="141f80180.gif" border=0 width="128" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="613" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 210 ><NOBR><div> <IMG SRC="142035cb0.gif" border=0 width="309" height="203" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1421eac00.gif" border=0 width="234" height="192" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <IMG SRC="14220d530.gif" border=0 width="525" height="83" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> En la tabla que sigue se resumen los resultados obtenidos:</div> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="606" BORDERCOLORLIGHT="#EEEEEE" BORDERCOLORDARK="#CC9900" FRAME="BOX" RULES="NONE" ALIGN="LEFT" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 HEIGHT= 20 WIDTH="73"><div> <I><B>x</B></I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 WIDTH="73"><div> <I><B>f</B></I><B> (</B><I><B>x</B></I><B>)</B></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 WIDTH="73"><div> <I><B>f</B></I><B> '(</B><I><B>x</B></I><B>)</B></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 WIDTH="73"><div> <I><B>f</B></I><B> ''(</B><I><B>x)</B></I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCC99 WIDTH="294"><div> <B>Conclusión</B></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 26 WIDTH="73"><div> <I><IMG SRC="14232f130.gif" border=0 width="47" height="19" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></I></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> +</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF><NOBR><div> la gráfica de <I>f</I> es cóncava hacia arriba</div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 26 WIDTH="73"><div> <IMG SRC="14242f130.gif" border=0 width="47" height="19" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> 0</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> no existe</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> no existe</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="294"><div> <I>f </I> tiene un punto de inflexión</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF HEIGHT= 26 WIDTH="73"><div> <IMG SRC="14252f130.gif" border=0 width="47" height="19" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="26" ALIGN="bottom" WIDTH="73" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF WIDTH="73"><div> -</div> </tD> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFFFFF><NOBR><div> la gráfica de <I>f</I> es cóncava hacia abajo</div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> <bR> </td> </tr><tr> <td valign="top" colspan=2 height=21 BGCOLOR="#006600" TEXT="#F7F7FF"> <div> <A HREF="id321_m.htm#ejercicios_resueltos" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Concavidad y puntos de inflexión"><U><B>Ejercicios resueltos</B></U></A></div> </td> </tr></table></body>