Introducción

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=98 BGCOLOR="#006600" TEXT="#F7F7FF" bgproperties="fixed" background="05700732dwnpjk.jpg"> <div> <FONT SIZE="6" COLOR="#FFFFFF" FACE="Times New Roman" ><B>C á l c u l o   2 1</B></FONT><FONT SIZE="6" COLOR="#FFCC66" FACE="Arial" ><B> </B></FONT><FONT SIZE="2" COLOR="#FFFFCC" FACE="Arial" >   </FONT><B>  |   </B><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="A n á l i s i s M a t e m á t i c o"><U><B>Home</B></U></A><B> |  </B><A HREF="id98.htm" TARGET="_top" TITLE=" | Contenido |"><U><B>Contenido</B></U></A><B> |  </B><A HREF="id373.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones diferenciales"><U><B>Ecuaciones diferenciales</B></U></A><B> |</B></div> <div> Introducción   |   <A HREF="id403.htm" TARGET="_top" TITLE="Campos direccionales"><U>Campos direccionales</U></A>   |   <A HREF="id384.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones diferenciales de primer orden"><U>Ecuaciones diferenciales de primer orden</U></A>   |   <A HREF="id375.htm" TARGET="_top" TITLE="Ecuaciones diferenciales de orden superi"><U>Ecuaciones diferenciales de orden superior</U></A>   |   <A HREF="id385.htm" TARGET="_top" TITLE="Misceláneas de Ecuaciones diferenciales"><U>Misceláneas de Ecuaciones diferenciales</U></A></div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" rowspan="2" width=245 BGCOLOR="#006600" TEXT="#F7F7FF"> <div> <A HREF="id376_m.htm#definici_n_de_ecuaci_n_diferencial_" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Introducción"><U><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700dcffffff00.gif" HEIGHT="15" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Definición</U></A></div> <div> <A HREF="id376_m.htm#clasificaci_n_de_las_ed" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Introducción"><U><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700dcffffff00.gif" HEIGHT="15" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Clasificación</U></A></div> <div> <A HREF="id376_m.htm#soluci_n_de_una_ed" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Introducción"><U><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700dcffffff00.gif" HEIGHT="15" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Soluciones</U></A></div> </td> <td valign="top" height=361 colspan=2 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <U>Introducción</U></div> <div> <B> <A NAME="definici_n_de_ecuaci_n_diferencial_"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Definición de ecuación diferencial (ED):</B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" > Una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se llama </FONT><I>ecuación diferencial</I><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >.</FONT></div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#CC6600" FACE="Times New Roman" ><I> </I><I> <A NAME="clasificaci_n_de_las_ed"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></I></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#9999FF" FACE="Times New Roman" ><B>Clasificación de las ED:</B></FONT> las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres características: <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC99" FACE="Times New Roman" >tipo</FONT>, <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC99" FACE="Times New Roman" >orden</FONT> y <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC99" FACE="Times New Roman" >linealidad</FONT>. Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de <I>una sóla variable independiente</I>). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de <I>dos o más variables independientes</I>). El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivada presente en élla.</div> <div> <IMG SRC="192957a30.gif" border=0 width="599" height="163" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">  </div> <div>          <A NAME="soluci_n_de_una_ed"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#9999FF" FACE="Times New Roman" ><B>Solución de una ED: </B></FONT>una función  <I>f</I>, definida en algún intervalo <I>I</I>, es solución de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si al sustituirla en la ED la reduce a una identidad. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser <I>explícitas</I> o <I>implícitas</I>. Una ED tiene, generalmente, un número infinito de soluciones o más bien una <I>familia n-paramétrica</I> de soluciones. El número de paramétros, <I>n</I>, depende del orden de la ED. Cuando se dan valores específicos a los paramétros arbitrarios, es decir, cuando se asignan valores numéricos a los paramétros, se obtiene una <FONT SIZE="3" COLOR="#66CC00" FACE="Times New Roman" >solución particular</FONT> de la ED. En algunas ocasiones se tiene una solución que no pertenece a la  <I>familia n-paramétrica</I>, a tales soluciones se les llama <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><I>singulares</I></FONT>.</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="584" BORDERCOLORLIGHT="#006600" BORDERCOLORDARK="#009900" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 BGCOLOR=#FFFFCC HEIGHT= 96 WIDTH="574"><div>  <A NAME="ejercicios_resueltos"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>Ejercicios resueltos</B></FONT></div> <bR> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#FF6600" FACE="Times New Roman" ><B> E</B></FONT>n cada uno de los problemas <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >1</FONT> a <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >6</FONT>, determine el orden de la ecuación diferencial dada; diga también si la ecuación es lineal o no lineal.   En cada uno de los problemas <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >7</FONT> a <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >11</FONT>, verifique que la función o funciones que se dan son una solución de la ecuación diferencial:</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 51 ><NOBR><div> <A HREF="#1" TITLE="Introducción"><U><IMG SRC="192abd2c0.gif" border=0 width="189" height="44" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#2" TITLE="Introducción"><U><IMG SRC="192bc92c0.gif" border=0 width="201" height="44" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 51 ><NOBR><div> <A HREF="#3" TITLE="Introducción"><U><IMG SRC="192cdb2c0.gif" border=0 width="219" height="44" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="298"><div> <A HREF="#4" TITLE="Introducción"><U><IMG SRC="192d6b290.gif" border=0 width="107" height="41" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 53 WIDTH="273"><div> <A HREF="#5" TITLE="Introducción"><U><IMG SRC="192eb52c0.gif" border=0 width="181" height="44" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#6" TITLE="Introducción"><U><IMG SRC="192fc92c0.gif" border=0 width="201" height="44" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 32 ><NOBR><div> <A HREF="#7" TITLE="Introducción"><U><IMG SRC="193010190.gif" border=0 width="272" height="25" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#8" TITLE="Introducción"><U><IMG SRC="193128190.gif" border=0 width="296" height="25" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 31 ><NOBR><div> <A HREF="#9" TITLE="Introducción"><U><IMG SRC="1932bb180.gif" border=0 width="187" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="298"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="31" ALIGN="bottom" WIDTH="298" HSPACE="0" VSPACE="0"></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 32 WIDTH="574"><div> <A HREF="#10" TITLE="Introducción"><U><IMG SRC="19336b190.gif" border=0 width="363" height="25" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 32 WIDTH="574"><div> <A HREF="#11" TITLE="Introducción"><U><IMG SRC="193478190.gif" border=0 width="376" height="25" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 20 WIDTH="574"><div> <B>DGZ (</B><B>1.1</B><B>; </B><B>1.2</B><B>) - B&D (</B><B>1.1</B><B>) - E&P (</B><B>1.1</B><B>) - MRS (</B><B>1.1.2</B><B>)</B></div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div> <B>S o l u c i o n e s </B></div> <div>  <A NAME="1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B><IMG SRC="1935d9900.gif" border=0 width="473" height="144" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></FONT></div> <div>  <A NAME="2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B><IMG SRC="1936d97c0.gif" border=0 width="473" height="124" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></FONT></div> <div>  <A NAME="3"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B><IMG SRC="1937d9900.gif" border=0 width="473" height="144" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></FONT></div> <div>  <A NAME="4"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B><IMG SRC="1938d9790.gif" border=0 width="473" height="121" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></FONT></div> <div>  <A NAME="5"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B><IMG SRC="1939d9a50.gif" border=0 width="473" height="165" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></FONT></div> <div>  <A NAME="6"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B><IMG SRC="193ad9900.gif" border=0 width="473" height="144" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></FONT></div> <div>  <A NAME="7"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B><IMG SRC="193b103d0.gif" border=0 width="272" height="317" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></FONT></div> <div>  <A NAME="8"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B><IMG SRC="193c28600.gif" border=0 width="296" height="352" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></FONT></div> <div>  <A NAME="9"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B><IMG SRC="193d09c50.gif" border=0 width="265" height="197" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></FONT></div> <bR> <div>  <A NAME="10"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B><IMG SRC="193e6b8b0.gif" border=0 width="363" height="395" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></FONT></div> <bR> <div>  <A NAME="11"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B><IMG SRC="193f78c80.gif" border=0 width="376" height="456" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></FONT></div> <bR> <bR> <bR> <bR> </td> </tr><tr> <td valign="top" colspan=2 height=21 BGCOLOR="#006600" TEXT="#F7F7FF"> <div> <FONT SIZE="2" COLOR="#FFFFFF" FACE="Arial" >| </FONT><A HREF="id376_m.htm#ejercicios_resueltos" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Introducción"><U><B> </B></U></A><A HREF="id376_m.htm#ejercicios_resueltos" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Introducción"><U><B>Ejercicios resueltos</B></U></A><FONT SIZE="2" COLOR="#FFFFFF" FACE="Arial" > |</FONT></div> </td> </tr></table></body>